Analyse der Kettenbruch-Regression und dessen Anwendung in der Werkstoffmodellierung

Die Continued Fraction Regression (kurz CFR) verwendet analytische Kettenbrüche zur Modellierung physikalischer Daten. In der Diplomarbeit wird untersucht, wie gut sich dieser Algorithmus für die Heißkompressionsdaten einer AA6082 Legierung eignet. In der künstlichen Intelligenz, spezieller dem maschinellen Lernen, ist die symbolische Regression dem Teilgebiet der genetischen Programmierung zuzuordnen. Nach der Behandlung des Grundkonzeptes wird der CFR-Algorithmus damit in Verbindung gebracht und ausführlich vorgestellt.
Der Erfolg des Verfahrens beruht auf der sogenannten Padé-Approximation. So lässt sich eine holomorphe Funktion über rationale Funktionen oft besser beschreiben als über eine klassische Reihenentwicklung. Wann sich diese rationalen Funktionen dann als verallgemeinerte Kettenbrüche darstellen lassen, ist dabei der springende Punkt. Der mathematische Hintergrund ist hierfür Schritt für Schritt abgebildet, bis man schließlich ein Kriterium von Baker erhält, welche analytischen Funktionen in verallgemeinerte Kettenbrüche entwickelbar sind und dessen Kontinuanten eine Stufenfolge in der Padé-Tabelle bilden. Auch meromorphe Funktionen lassen sich in Kettenbrüche entwickeln, wobei man hier keine verallgemeinerten Kettenbrüche mehr erhält. Baker liefert weiters ein Theorem, wann eine Folge von Padé-Approximanten einer analytischen Funktion auch außerhalb des Konvergenzradius konvergiert.
Anschließend folgt in einem empirischen Teil, ein Test über das im Algorithmus verwendete lokale Suchverfahren (Downhill Simplex). Es stellt sich dabei heraus, dass dieses für Kettenbrüche von geringer Tiefe einen hohen Einfluss hat. Hier und für folgende Implementierungen des CFR-Algorithmus kommt die Softwareumgebung HeuristicLab zum Einsatz.
Im letzten Kapitel werden die Stauchversuchsdaten bereinigt, skaliert, gesampled und in Trainings- und Testdaten aufgeteilt. Die Trainingsdaten werden anschließend für die Parameteroptimierung und das Erlernen von Modellen verwendet. Der originale Algorithmus wird mit einer eigenen Implementierung der Kettenbruch-Regression verglichen. Bei Modellen mit hoher Kettenbruchtiefe zeigt der originale Algorithmus ein schlechtes Konvergenzverhalten und es tritt ein Underfitting ein. Erst durch eine Anpassung der lokalen Suche lässt sich ein Underfitting ausschließen. So wird mit Hilfe dieser Modifikation in der eigenen Implementierung erreicht, dass in den ersten Generationen Kettenbrüche mit niedriger Tiefe erzeugt werden. Erst im weiteren Verlauf werden durch Mutation und Rekombination Kettenbrüche höherer und schließlich auch maximaler Tiefe gebildet. Bei einem Vergleich mit anderen Modellen (antrainierbar im HeuristicLab) stellt sich heraus, dass die Kettenbruch-Regression zwar nicht so genaue Vorhersagen treffen kann, dafür aber sehr kompakte und leicht interpretierbare Modelle liefert.