Spectral Multiplicity for Operators on a Hilbert Space

Funktionalanalysis ist ein wichtiges Fundament für viele Gebiete der Mathematik und theoretischen Physik, wobei (beschränkte) lineare Operatoren oft eine zentrale Rolle spielen. Beispielsweise werden in der Quantentheorie die Quantenzustände als Elemente
eines geeigneten Hilbertraumes interpretiert, während Messungen durch hermitesche Operatoren dargestellt werden. Weiters werden lineare Differentialgleichungen oft als Operatorgleichungen mit einem linearen Differentialoperator verstanden, und Lösungen können mit Hilfe der Funktionalanalysis ermittelt werden. Aufgrund dieser Tatsachen ist ein tieferes Verständnis von solchen Operatoren von großem Nutzen.

Leider gibt es bis dato keine allgemeine Theorie, die sämtliche linearen Operatoren auf Banachräumen klassifiziert. Das reduzierte Problem für normale, beschränkte lineare Operatoren auf separablen Hilberträumen hat jedoch in der Tat eine derartige Klassifizierung. Die sogenannte Multiplizitätstheorie beschreibt sämtliche solche Operatoren eindeutig mit Hilfe ihres Spektrums und ihrer spektralen Vielfachheit. Dabei ist die Theorie eine Erweiterung der endlich-dimensionalen Klassifizierung von normalen Matrizen nach ihrem Spektrum und der spektralen Vielfachheit.

Das Ziel dieser Arbeit ist es, eine (soweit möglich) in sich geschlossene Einführung in das Gebiet der Multiplizitätstheorie zu geben, wobei am Ende der Beweis des Satzes über Multiplizitätstheorie steht. Dabei richtet sich diese Arbeit an interessierte Leser_innen mit einer Grundausbildung in Hochschulmathematik.